Question

【题目】在△ABC中，A、B、C的对边分别为a，b，c，已知A≠ ，且3sinAcosB+ bsin2A=3sinC．
（I）求a的值；
（Ⅱ）若A= ，求△ABC周长的最大值．

Answer 1

【答案】解：（I）∵3sinAcosB+ bsin2A=3sinC，

∴3sinAcosB+ bsin2A=3sinAcosB+3cosAsinB，

∴bsinAcosA=3cosAsinB，

∴ba=3b，

∴a=3；

（Ⅱ）由正弦定理可得 = = ，

∴b=2 sinB，c=2 sinC

∴△ABC周长=3+2 （sinB+sinC）=3+2 [sin（ ﹣C）+sinC]=3+2 sin（ +C）

∵0＜C＜ ，

∴ ＜ +C＜ ，

∴ ＜sin（ +C）≤1，

∴△ABC周长的最大值为3+2

【解析】（1）根据三角形内角和定理将C用A、B表示，然后利用诱导公式、两角和的正弦公式及二倍角的正弦将等式展开并化简即可求出a；（2）利用正弦定理将b、c用a、sinA、sinB、sinC表示.
【考点精析】认真审题，首先需要了解二倍角的正弦公式(二倍角的正弦公式：)．