Question

【题目】如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA丄底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1．M是棱SB的中点．

（1）求证：AM∥平面SCD；
（2）求平面SCD与平面SAB所成的二面角的余弦值；
（3）设点N是直线CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为θ，求sinθ的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA丄底面ABCD，

AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1．M是棱SB的中点，

∴以点A为坐标原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，

则A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（1，0，0），S（0，0，2），M（0，1，1），

∴ =（0，1，1）， =（1，0，﹣2）， =（﹣1，﹣2，0），

设平面SCD的一个法向量为 =（x，y，z），

则 ，令z=1，得 =（2，﹣1，1），

∵ =0，∴ ，

∵AM平面SCD，∴AM∥平面SCD

（2）解：由题意平面SAB的一个法向量 =（1，0，0），

设平面SCD与平面SAB所成的二面角为α，由题意0 ，

则cosα= = = ，

∴平面SCD与平面SAB所成的二面角的余弦值为

（3）解：设N（x，2x﹣2，0），则 =（x，2x﹣3，﹣1），

∵平面SAB的一个法向量 =（1，0，0），MN与平面SAB所成的角为θ

∴sinθ=|cos＜ ＞|= =| |

=

= ．

当 ，即x= 时，sinθ取得最大值（sinθ）max= ．

【解析】（1）通过建立直角坐标系利用平面SCD的法向量，向量数量积等于零即可证明平行关系。（2）分别求出平面SCD与平面SAB的法向量，根据法向量的夹角即可求出。（3）根据线面角的夹角公式即可得出表达式，进而利用二次函数的单调性即可得出。
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行才能正确解答此题．