题目内容
用泰勒展开式进行证明
设函数fn（x）=-1+x+
+
+…+
（x∈R，n∈N+），证明：
（1）对每个n∈N+，存在唯一的x∈[
，1]，满足fn（xn）=0；
（2）对于任意p∈N+，由（1）中xn构成数列{xn}满足0＜xn-xn+p＜
．
设函数fn（x）=-1+x+
| x2 |
| 22 |
| x3 |
| 32 |
| xn |
| n2 |
（1）对每个n∈N+，存在唯一的x∈[
| 2 |
| 3 |
（2）对于任意p∈N+，由（1）中xn构成数列{xn}满足0＜xn-xn+p＜
| 1 |
| n |
考点：数列的应用
专题：综合题,等差数列与等比数列
分析：（1）由题意可得f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．求得fn（1）＞0，fn（
）＜0，再根据函数的零点的判定定理，可得要证的结论成立．
（2）由题意可得fn+1（xn）＞fn（xn）=fn+1（xn+1）=0，由 fn+1（x） 在（0，+∞）上单调递增，可得 xn+1＜xn，故xn-xn+p＞0．用 fn（x）的解析式减去fn+p （xn+p）的解析式，变形可得xn-xn+p=
+
再进行放大，并裂项求和，可得它小于
，综上可得要证的结论成立．
| 2 |
| 3 |
（2）由题意可得fn+1（xn）＞fn（xn）=fn+1（xn+1）=0，由 fn+1（x） 在（0，+∞）上单调递增，可得 xn+1＜xn，故xn-xn+p＞0．用 fn（x）的解析式减去fn+p （xn+p）的解析式，变形可得xn-xn+p=
| n |
 |
| k=2 |
| xn+pk-xnk |
| k2 |
| n+p |
|
| k=n+1 |
| xn+pk |
| k2 |
| 1 |
| n |
解答：
证明：（1）对每个n∈N+，当x＞0时，由函数fn（x）=-1+x+
+
+…+
（x∈R，n∈N+），可得
f′（x）=1+
+
+…+
＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．
由于f1（x1）=0，当n≥2时，fn（1）=
+
+…+
＞0，即fn（1）＞0．
又fn（
）≤-
+
(
)i=-
•(
)n-1＜0，
根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的x∈[
，1]，满足fn（xn）=0；
（2）对于任意p∈N+，由（1）中xn构成数列{xn}，当x＞0时，∵fn+1（x）=fn（x）+
＞fn（x），
∴fn+1（xn）＞fn（xn）=fn+1（xn+1）=0．
由 fn+1（x） 在（0，+∞）上单调递增，可得 xn+1＜xn，即 xn-xn+1＞0，故数列{xn}为减数列，即对任意的 n、p∈N+，xn-xn+p＞0．
由于 fn（xn）=-1+xn+
+…+
=0 ①，
fn+p （xn+p）=-1+xn+p+
+…+
②
用①减去②并移项，利用 0＜xn+p≤1，可得xn-xn+p=
+
＜
=
-
＜
．
综上可得，对于任意p∈N+，由（1）中xn构成数列{xn}满足0＜xn-xn+p＜
．
| x2 |
| 22 |
| x3 |
| 32 |
| xn |
| n2 |
f′（x）=1+
| x |
| 2 |
| x2 |
| 3 |
| xn-1 |
| n |
由于f1（x1）=0，当n≥2时，fn（1）=
| 1 |
| 22 |
| 1 |
| 32 |
| 1 |
| n2 |
又fn（
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| n |
|
| i=2 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的x∈[
| 2 |
| 3 |
（2）对于任意p∈N+，由（1）中xn构成数列{xn}，当x＞0时，∵fn+1（x）=fn（x）+
| xn+1 |
| (n+1)2 |
∴fn+1（xn）＞fn（xn）=fn+1（xn+1）=0．
由 fn+1（x） 在（0，+∞）上单调递增，可得 xn+1＜xn，即 xn-xn+1＞0，故数列{xn}为减数列，即对任意的 n、p∈N+，xn-xn+p＞0．
由于 fn（xn）=-1+xn+
| xn2 |
| 22 |
| xnn |
| n2 |
fn+p （xn+p）=-1+xn+p+
| xn+p2 |
| 22 |
| xn+pn+p |
| (n+p)2 |
用①减去②并移项，利用 0＜xn+p≤1，可得xn-xn+p=
| n |
|
| k=2 |
| xn+pk-xnk |
| k2 |
| n+p |
|
| k=n+1 |
| xn+pk |
| k2 |
| n+p |
|
| k=n+1 |
| 1 |
| k(k-1) |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n+p |
| 1 |
| n |
综上可得，对于任意p∈N+，由（1）中xn构成数列{xn}满足0＜xn-xn+p＜
| 1 |
| n |
点评：本题主要考查函数的导数及应用，函数的零点的判定，等比数列求和以及用放缩法证明不等式，还考查推理以及运算求解能力，属于难题．
练习册系列答案
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下列函数：①y=xsinx，②y=xcosx，③y=x|cosx|，④y=x2x的图象（部分）如图（但顺序被打乱）：则从左到右的各图象依次对应的函数序号是（ ）
| A、①④②③ | B、①④③② |
| C、④①②③ | D、③④②① |