Question

【题目】已知椭圆：过点，且离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）若斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，且线段的垂直平分线过点，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）根据题意得,再由离心率求出，进而得出，即可得到椭圆的方程．

（2）设直线的方程：，，，联立直线与椭圆的方程得到关于的一元二次方程，由韦达定理可得，，的值和，即①，根据线段中点，写出线段的垂直平分线的方程为，将点代入，得，代入①式即可得到的取值范围．

（1）因为椭圆过点，

且离心率为，

所以椭圆的方程为：．

（2）设直线的方程：，，，

联立直线与椭圆的方程联立得：

.

整理得：①

，，

.

因为线段中点，

所以线段的垂直平分线的方程为，

又因为线段的垂直平分线过点，

所以，即，

所以，

代入①式得：，

整理得：，即

解得或，

所以的取值范围为：．