Question

【题目】已知圆的圆心为，点是圆内一个定点，点是圆上任意一点，线段的重直平分线与半径相交于点．

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）给定点，若过点的直线与轨迹相交于两点（均不同于点）．证明：直线与直线的斜率之积为定值．

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（1）根据垂直平分线的性质以及椭圆的定义，即可得出动点的轨迹的方程；

（2）不过点，则斜率存在，设出直线的方程，联立椭圆方程，设而不解，利用韦达定理，将直线与直线的斜率之积表示出来并化简，证得定值.

解：（1）如图，由已知，圆心，半径．

∵点在线段的垂直平分线上，则，又，

，又，

，则动点的轨迹是以为焦点，

长轴长的椭圆，从而，

故所求轨迹方程为．

（2）由已知，直线过点，且不过点，则斜率存在，

设，将其代入得

，则成立，

设，则，

显然

设直线与直线的斜率分别为，则

，

即直线与直线的斜率之积为定值．