Question

3．已知曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cosθ\\ y=6+\sqrt{2}sinθ\end{array}\right.$，（θ为参数），曲线C₂：$\frac{x^2}{10}+{y^2}=1$．
（1）写出曲线C₁的普通方程，曲线C₂的参数方程；
（2）在曲线C₁，C₂上分别取点P，Q，求|PQ|的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据圆的参数方程求出圆心坐标及半径，可得曲线C₁的普通方程，
根据椭圆的标准方程，确定椭圆的长半轴和短半轴长，可得曲线C₂的参数方程；
2）曲线C₂上任意一点$Q（\sqrt{10}cosφ，sinφ）$到到圆心O（0，6）的距离$d=\sqrt{{{（\sqrt{10}cosφ-0）}^2}+{{（sinφ-6）}^2}}$，根据正弦型函数的图象和性质，可得|PQ|的最大值．

解答 解：（1）∵曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cosθ\\ y=6+\sqrt{2}sinθ\end{array}\right.$，（θ为参数），
∴曲线C₁表示以（0，6）为圆心，$\sqrt{2}$为半径的圆，
故C₁的普通方程为：x²+（y-6）²=2，
由曲线C₂：$\frac{x^2}{10}+{y^2}=1$表示焦点在x轴上，长半轴为$\sqrt{10}$，短半轴为1的椭圆，
故C₂的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{10}cosφ\\ y=sinφ\end{array}\right.$，（φ为参数）                   …（4分）
（2）曲线C₂上任意一点$Q（\sqrt{10}cosφ，sinφ）$到到圆心O（0，6）的距离$d=\sqrt{{{（\sqrt{10}cosφ-0）}^2}+{{（sinφ-6）}^2}}$…（6分）
=$\sqrt{-9{{sin}^2}φ-12sinφ+46}=\sqrt{-9{{（sinφ+\frac{2}{3}）}^2}+50}≤5\sqrt{2}$…（8分）
当$sinφ=-\frac{2}{3}$时，d取最大值$5\sqrt{2}$，
此时$|PQ{|_{max}}=5\sqrt{2}+\sqrt{2}=6\sqrt{2}$…（10分）

点评 本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，正弦型函数的图象和性质，参数方程与普通方程的互化，难度中档．