Question

13．已知数列{a_n}的各项均为正数，观察程序框图，若k=5，k=10时，分别有S=$\frac{5}{11}$和S=$\frac{10}{21}$
（1）试求数列{a_n}的通项；
（2）令b_n=2^a_n，求b₁+b₂+…+b₂₀₁₅的值．

Answer 1

分析 （1）由框图可知S=$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}+…+\frac{1}{{a}_{k}{a}_{k+1}}$，$\frac{1}{{a}_{k}{a}_{k+1}}$=$\frac{1}{d}$（$\frac{1}{{a}_{k}}+\frac{1}{{a}_{k+1}}$），从而S=$\frac{1}{d}$（$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{k+1}}$），由此能求出数列{a_n}的通项．
（2）由${b}_{n}={2}^{{a}_{n}}={2}^{2n-1}$，能求出b₁+b₂+…+b₂₀₁₅的值．

解答 解：（1）由框图可知：
S=$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}+…+\frac{1}{{a}_{k}{a}_{k+1}}$，
∵{a_n}是等差数列，设公差为d，
∴$\frac{1}{{a}_{k}{a}_{k+1}}$=$\frac{1}{d}$（$\frac{1}{{a}_{k}}+\frac{1}{{a}_{k+1}}$），
∴$S=\frac{1}{d}（\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{3}}+…+\frac{1}{{a}_{k}}-\frac{1}{{a}_{k+1}}）$=$\frac{1}{d}$（$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{k+1}}$），
由题意可知，k=5时，S=$\frac{5}{11}$，k=10时，$S=\frac{10}{21}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{d}（\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{6}}）=\frac{5}{11}}\\{\frac{1}{d}（\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{11}}）=\frac{10}{21}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=-1}\\{d=-2}\end{array}\right.$（舍），
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1．
（2）由（1）得：${b}_{n}={2}^{{a}_{n}}={2}^{2n-1}$，
∴b₁+b₂+…+b₂₀₁₅
=2+2³+…+2^2n-1
=$\frac{2（1-{4}^{n}）}{1-4}$
=$\frac{2}{3}$（4ⁿ-1）．

点评 本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意程序框图的性质的合理运用．