Question

2．（1）已知：正数a，b，x，y满足a+b=10，$\frac{a}{x}$+$\frac{b}{y}$=1，且x+y的最小值为18，求a，b的值．
（2）若不等式x+2$\sqrt{2xy}$≤a（x+y）对一切正数x、y恒成立，求正数a的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式，结合条件，即可得出结论；
（2）不等式x+2$\sqrt{2xy}$≤a（x+y）对一切正数x、y恒成立，可得a≥$\frac{x+2\sqrt{2xy}}{x+y}$．换元利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解答 解：（1）x+y=（x+y）（$\frac{a}{x}$+$\frac{b}{y}$）=a+b+$\frac{ay}{x}$+$\frac{bx}{y}$≥a+b+2$\sqrt{ab}$，
由题意a+b+2$\sqrt{ab}$=18，a+b=10，解得a=2，b=8或a=8，b=2；
（2）∵不等式x+2$\sqrt{2xy}$≤a（x+y）对一切正数x、y恒成立，∴a≥$\frac{x+2\sqrt{2xy}}{x+y}$．
令f（x，y）=$\frac{x+2\sqrt{2xy}}{x+y}$=$\frac{1+2\sqrt{2}•\sqrt{\frac{y}{x}}}{1+\frac{y}{x}}$，x＞0，y＞0．
令$\sqrt{\frac{y}{x}}$=t＞0，则g（t）=$\frac{1+2\sqrt{2}t}{1+{t}^{2}}$，g′（t）=$\frac{-2（\sqrt{2}t-1）（t+\sqrt{2}）}{（1+{t}^{2}）^{2}}$，
令g′（t）=0，解得t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可知当t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，g（t）取得极大值即最大值2．
∴a≥2．
故a的最小值为2．

点评 本题考查了基本不等式的运用，考查恒成立问题的等价转化、利用导数研究函数的单调性极值与最值等基础知识与基本技能方法，属于中档题．