Question

设函数f(x)=lnx-ax²-bx.

(1)当a=b=时,求f(x)的最大值.

(2)令F(x)=f(x)+ax²+bx+(0<x≤3),其图像上任意一点P(x₀,y₀)处的切线的斜率k≤恒成立,求实数a的取值范围.

Answer 1

解：(1)依题意,知f(x)的定义域为(0,+∞).

当a=b=时,f(x)=lnx-x2-x,

f'(x)=-x-=,

令f'(x)=0,解得x=1或x=-2(舍去).

当0<x<1时,f'(x)>0,f(x)是增加的;

当x>1时,f'(x)<0,f(x)是减少的.

所以f(x)的极大值为f(1)=-,

即f(x)的最大值是-.

(2)F(x)=lnx+,x∈(0,3],

则有k=F'(x0)=≤在(0,3]上恒成立,

所以a≥(-+x0)max,

当x0=1时,-+x0取得最大值,所以a≥.