题目内容
已知函数f（x）=
x3-4x+m在区间（-∞，+∞）上有极大值
．
（1）求实常数m的值．
（2）求函数f（x）在区间（-∞，+∞）上的极小值．
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（1）求实常数m的值．
（2）求函数f（x）在区间（-∞，+∞）上的极小值．
考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性
专题：导数的综合应用
分析：（1）由f′（x）=x2-4=（x+2）（x-2），令f′（x）=0，解得x=-2，或x=2，列表讨论，能求出m=4．
（2）由m=4，得f（x）=
x3-4x+4，由此能求出函数f（x）在区间（-∞，+∞）上的极小值．
（2）由m=4，得f（x）=
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解答：
解：（1）∵f（x）=
x3-4x+m，
∴f′（x）=x2-4=（x+2）（x-2），
令f′（x）=0，解得x=-2，或x=2，
列表讨论，得：
∴当x=-2时，f（x）取极大值，
∵函数f（x）=
x3-4x+m在区间（-∞，+∞）上有极大值
，
∴f(-2)=
+8+m=
，
解得m=4．
（2）由m=4，得f（x）=
x3-4x+4，
当x=2时，f（x）取极小值f（2）=-
．
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∴f′（x）=x2-4=（x+2）（x-2），
令f′（x）=0，解得x=-2，或x=2，
列表讨论，得：
| x | （-∞，-2） | -2 | （-2，2） | 2 | （2，+∞） |
| f′（x） | + | 0 | - | 0 | + |
| f（x） | ↑ | 极大值 | ↓ | 极小值 | ↑ |
∵函数f（x）=
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∴f(-2)=
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解得m=4．
（2）由m=4，得f（x）=
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当x=2时，f（x）取极小值f（2）=-
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点评：本题考查函数的极大值和极小值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．
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