Question

6．已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=-x²+4x，
（1）求f（x）的解析式
（2）若函数f（x）在区间[-1，a-2]上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求f（0）=0，再设x＜0，由奇函数的性质f（x）=-f（-x），利用x＞0时的表达式求出x＜0时函数的表达式．
（2）函数f（x）在区间[-1，a-2]上单调递增，可得-1＜a-2≤2，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，且f（-x）=-f（x），
∴f（x）=-f（-x），
设x＜0，则-x＞0，
∴f（-x）=-x²-4x，
∴f（x）=-f（-x）=-（-x²-4x）=x²+4x，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4x，x≤0}\\{-{x}^{2}+4x，x＞0}\end{array}\right.$；
（2）∵函数f（x）在区间[-1，a-2]上单调递增，
∴-1＜a-2≤2，
∴1＜a≤4．

点评 本题主要考查奇函数的性质求解函数的解析式，关键是利用原点两侧的函数表达式之间的关系解题．