Question

16．已知数列{a_n}为等差数列，a₂=3，a₃+a₆=11．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若${b_n}=2（{a_n}+\frac{1}{{{2^{a_n}}}}）$，其中n∈N^*，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列的通项公式即可得出；
（II）利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差是d，则$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=3}\\{2{a}_{1}+7d=11}\end{array}\right.$，
解得a₁=2，d=1．
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2+（n-1）=n+1．
（Ⅱ）${b_n}=2（{a_n}+\frac{1}{{{2^{a_n}}}}）$=2$（n+1+\frac{1}{{2}^{n+1}}）$=2n+2+$\frac{1}{{2}^{n}}$．
∴数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{n（4+2n+2）}{2}$+$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$
=n²+3n+1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．