Question

已知函数f（a^x）=-x²+2x+2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若a=2，x∈[

1

4

，16]，求f（x）的值域．

Answer 1

考点：指数型复合函数的性质及应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用换元法，利用指数和对数之间的关系即可求出函数的解析式．
（2）根据对数函数的性质，利用换元法将函数转化为一元二次函数，利用二次函数的图象和性质即可求函数的值域．

解答： 解：（1）设t=a^x，则x=log_at，
∵f（a^x）=-x²+2x+2．
∴f（t）=-（log_at）²+2log_at+2．
即f（x）=-（log_ax）²+2log_ax+2．
（2）当a=2时，f（x）=-（log₂x）²+2log₂x+2．
设m=log₂x，若x∈[

1

4

，16]，
则m∈[log₂

1

4

，log₂16]，即m∈[-2，4]，
则函数f（x）等价为y=g（m）=-m²+2m+2=-（m-1）²+3，
∵m∈[-2，4]，
∴当m=4或-2时，g（m）取得最小值-6，
当m=1时，g（m）取得最大值为3，
即-6≤y≤3，
∴函数的值域为[-6，3]．

点评：本题主要考查函数解析式以及函数值域的求法，利用换元法将函数进行转化是解决本题的关键．