Question

1．设$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$是不共线的两个向量，已知$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{CD}$=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，若A、B、D三点共线，求k的值．

Answer 1

分析 根据平面向量的共线定理，利用平面向量的坐标表示，列出方程组，求出k的值．

解答 解：∵A、B、D三点共线，
∴必存在实数λ，使$\overrightarrow{AB}=λ\overrightarrow{BD}$，
又$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}$
=（-$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）+（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）
=$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow{b}$，
∴2$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$=λ（$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow{b}$）=λ$\overrightarrow{a}$-4λ$\overrightarrow{b}$，
即（λ-2）$\overrightarrow{a}$=（k+4λ）$\overrightarrow{b}$，
又$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$不共线，
∴$\left\{{\begin{array}{l}λ-2=0\\ k+4λ=0\end{array}}\right.$，
解得k=-8．

点评 本题考查了平面向量的共线定理以及坐标运算的应用问题，是基础题目．