Question

10．函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，f（x）＞0．满足f（x•y）=f（x）•f（y），且在区间（0，+∞）上单调递增，若m满足f（log₃m）+f（log${\;}_{\frac{1}{3}}$m）≤2f（1），则实数m的取值范围是（　　）

• A． [1，3]
• B． （0，$\frac{1}{3}$]
• C． [0，$\frac{1}{3}$﹚∪（1，3]
• D． [$\frac{1}{3}$，1）∪（1，3]

Answer 1

分析 由条件令x=y=1可得f（1）=1．令x=y=-1，则f（-1）=1．令y=-1，则f（-x）=f（x）f（-1）=f（x），即有f（x）为偶函数，原不等式即为2f（log₃m）≤2f（1），则f（|log₃m|）≤f（1），由于f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，则|log₃m|≤1，且log₃m≠0，解出即可．

解答 解：由于f（x•y）=f（x）•f（y），f（x）＞0，
则令x=y=1可得f（1）=f²（1），即有f（1）=1．
令x=y=-1，则f（1）=f²（-1）=1，则f（-1）=1．
令y=-1，则f（-x）=f（x）f（-1）=f（x），即有f（x）为偶函数，
由f（log₃m）+f（log${\;}_{\frac{1}{3}}$m）≤2f（1），即为f（log₃m）+f（-log₃m）≤2f（1），
即2f（log₃m）≤2f（1），
则f（|log₃m|）≤f（1），
由于f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，
则|log₃m|≤1，且log₃m≠0解得$\frac{1}{3}$≤m＜1或1＜m≤3．
故选D．

点评 本题考查抽象函数及应用，考查函数的奇偶性、单调性及运用，考查对数的运算，及解对数不等式的能力，属于中档题和易错题．