题目内容

已知椭圆E的方程为，右焦点为F，直线l的倾斜角为，直线l与圆x2+y2=3相切于点Q，且Q在y轴的右侧，设直线l交椭圆E于两个不同点A，B．
（1）求直线l的方程；
（2）求△ABF的面积．

【答案】分析：（1）设出直线方程，利用点到直线的距离等于半径求出，直线方程中的变量，即可得到直线方程．
（2）设出A、B坐标，利用直线方程与椭圆方程联立，通过弦长公式求出|AB|距离，然后表示出三角形的面积，即可得到结果．
解答：解：（1）设直线l的方程为y=x+m，
则有，得…（3分）
又切点Q在y轴的右侧，所以，…（2分）
所以直线l的方程为…（2分）
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）
由得…（2分）…（2分）
又F（1，0），所以F到直线l的距离…（2分）
所以△ABF的面积为…（1分）
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，弦长公式的应用，直线与圆相切切线方程的求法，考查计算能力，转化思想．
练习册系列答案
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已知椭圆E的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，长轴是短轴的2倍，且椭圆E过点(
2
，
2
2
)；斜率为k（k＞0）的直线l过点A（0，2），
n
为直线l的一个法向量，坐标平面上的点B满足条件|
n
•
AB
|=|
n
|．
（1）写出椭圆E方程，并求点B到直线l的距离；
（2）若椭圆E上恰好存在3个这样的点B，求k的值．
已知椭圆E的方程为2x2+y2=2，过椭圆E的一个焦点的直线l交椭圆于A、B两点．
（1）求椭圆E的长轴和短轴的长，离心率，焦点和顶点的坐标；
（2）求△ABO（O为原点）的面积的最大值．
精英家教网已知椭圆E的方程为：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点坐标为（1，0），点P（1，
3
2
）在椭圆E上．
（I）求椭圆E的方程；
（II）过椭圆E的顶点A作两条互相垂直的直线分别与椭圆E交于（不同于点A的）两点M，N．
问：直线MN是否一定经过x轴上一定点？若是，求出定点坐标，不是，说明理由．
精英家教网已知椭圆E的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的两条渐近线为l1和l2，过椭圆E的右焦点F作直线l，使得l⊥l2于点C，又l与l1交于点P，l与椭圆E的两个交点从上到下依次为A，B（如图）．
（1）当直线l1的倾斜角为30°，双曲线的焦距为8时，求椭圆的方程；
（2）设
PA
=λ1
AF
，
PB
=λ2
BF
，证明：λ1+λ2为常数．
（2012•闵行区一模）已知椭圆E的方程为
x2
4
+
y2
3
=1，右焦点为F，直线l与圆x2+y2=3相切于点Q，且Q在y轴的右侧，设直线l交椭圆E于不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）．
（1）若直线l的倾斜角为
π
4
，求直线l的方程；
（2）求证：|AF|+|AQ|=|BF|+|BQ|．

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