Question

已知椭圆E的方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点坐标为（1，0），点P（1，

3

2

）在椭圆E上．
（I）求椭圆E的方程；
（II）过椭圆E的顶点A作两条互相垂直的直线分别与椭圆E交于（不同于点A的）两点M，N．
问：直线MN是否一定经过x轴上一定点？若是，求出定点坐标，不是，说明理由．

Answer 1

分析：（I）右焦点为（1，0），点P（1，

3

2

）在椭圆E上，2a=|PF₁|+|PF₂|=

(1+1)2+( 3 2 )2

+

(1-1) 2+( 3 2 )2

 =4，
由此能求出椭圆方程．
（II）设直线AM方程为y=k（x+2），由

y=k(x+2) 3x2+4y2=12

，解得M(

6-8k2

3+4k2

，

12k

3+4k2

)，同理，得N（

6k2-8

3k2+4

，

-12k

3k2+4

），
若

6-8k2

3+4k2

=

6k2-8

3k2+4

，则得k²=1，即直线MN的方程为x= -

2

7

，此时过x轴上一点Q（-

2

7

，0），由此能导出直线MN过x轴上一定点Q（-

2

7

，0）．

解答：解：（I）∵右焦点为（1，0），∴c=1，左焦点为（-1，0），点P（1，

3

2

）在椭圆E上，
∴2a=|PF₁|+|PF₂|=

(1+1)2+( 3 2 )2

+

(1-1) 2+( 3 2 )2

 =4，
∴a=2，b=

3

，
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（II）设直线AM方程为y=k（x+2），
则有

y=k(x+2) 3x2+4y2=12

，整理，得（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0，
解得M(

6-8k2

3+4k2

，

12k

3+4k2

)，同理，得N（

6k2-8

3k2+4

，

-12k

3k2+4

），
若

6-8k2

3+4k2

=

6k2-8

3k2+4

，则得k²=1，即直线MN的方程为
x= -

2

7

，此时过x轴上一点Q（-

2

7

，0）（10分）
当k²≠1时，假设直线MN过x轴上一定点Q（m，0），则有

QM

∥

NQ

，

QM

=(

6-8k2

3+4k2

-m，

12k

3+4k2

)，

NQ

=(m-

6k2-8

3k2+4

，

12k

3k2+4

)，则由

QM

∥

NQ

，
解得m=-

2

7

，
所以直线MN过x轴上一定点Q（-

2

7

，0）（12分）．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．