Question

12．请推导等差数列及等比数列前n项和公式．

Answer 1

分析 利用倒序相加法能证明等差数列的前n项和公式，利用错位相减法能证明等比数列的前n项和公式．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）等差数列{a_n}中，a_n=a₁+（n-1）d，
S_n=a₁+（a₁+d）+（a₁+2d）+…+[a₁+（n-3）d]+[a₁+（n-2）d]+[a₁+（n-1）d]，①
S_n=[a₁+（n-1）d]++[a₁+（n-2）d]+[a₁+（n-3）d]+…+（a₁+2d）+（a₁+d）+a₁，②
①+②，得：
2S_n=2na₁+n（n-1）d，
∴等差数列前n项和公式${S}_{n}=n{a}_{1}+\frac{n（n-1）}{2}d$．
（2）在等比数列{a_n}中，${a}_{n}={a}_{1}{q}^{n-1}$，
当q=1时，a_n=a₁，S_n=na₁，
当q≠1时，${S}_{n}={a}_{1}+{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{2}+…+{a}_{1}{q}^{n-1}$，③
qS_n=${a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{2}+{a}_{1}{q}^{3}+…+{a}_{1}{q}^{n-1}+{a}_{1}{q}^{n}$，④
③-④，得：
（1-q）S_n=${a}_{1}-{a}_{1}{q}^{n}$，
∴S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$．

点评 本题考查等差数列及等比数列前n项和公式的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意倒序相加法和错位相减法的合理运用．