Question

7．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，且SA=AB=BC=2，AD=1．
（1）求四棱柱S-ABCD的体积；
（2）求点B到平面SCD的距离；
（3）求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）先求出底面ABCD的面积，由四棱锥S-ABCD的体积V_S-ABCD=$\frac{1}{3}$×S_梯形ABCD×SA，能求出结果．
（2）利用等体积，求点B到平面SCD的距离；
（3）以A为原点，AD、AB、AS所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出面SCD与面SAB所成二面角的余弦值．

解答 解：（1）∵在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，
侧棱SA⊥底面ABCD，且SA=AB=BC=2，AD=1，
∴S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}×（1+2）×2$=3，
∴四棱锥S-ABCD的体积V_S-ABCD=$\frac{1}{3}×3×2$=2．
（2）△SDC中，SD=DC=$\sqrt{5}$，SC=2$\sqrt{3}$，S_△SDC=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×\sqrt{12-\frac{5}{4}}$=$\frac{\sqrt{129}}{2}$，
设点B到平面SCD的距离为h，则$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{129}}{2}h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2$，
∴h=$\frac{8\sqrt{129}}{129}$；
（2）如图，以A为原点，AD、AB、AS所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（1，0，0），S（0，0，2），
平面SAB的法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（1，0，0），
又$\overrightarrow{SC}$=（2，2，-2），$\overrightarrow{SD}$=（1，0，-2），
设平面SCD的法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{2x+2y-2z=0}\\{x-2z=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（2，-1，1），
设面SCD与面SAB所成二面角的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{2}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴面SCD与面SAB所成二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题主要考查空间直线和直线的垂直判断，点到平面距离的计算以及空间二面角的求解，要求熟练掌握相应的判定定理以及，空间向量与二面角的关系．