Question

8．已知函数f（x）=|x+m|+|2x+1|．
（1）当m=-1时，解不等式f（x）≤3；
（2）若m∈（-1，0]，求函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值的几何意义，分类讨论解不等式f（x）≤3；
（2）由题意，m=0时，函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积取得最大值．

解答 解：（1）当m=-1时，不等式f（x）≤3，可化为|x-1|+|2x+1|≤3，
x$≤-\frac{1}{2}$时，-x+1-2x-1≤3，∴x≥-1，∴-1≤x$≤-\frac{1}{2}$；
-$\frac{1}{2}＜x＜1$时，-x+1+2x+1≤3，∴x≤1，∴-$\frac{1}{2}＜x＜1$；
x≥1时，x-1+2x+1≤3，∴x≤1，∴x=1；
综上所述，-1≤x≤1；
（2）由题意，m=0时，函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积取得最大值．

图象最低点的坐标是（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），f（x）=1时，x=0或-$\frac{2}{3}$，f（x）=3时，x=-$\frac{4}{3}$或$\frac{2}{3}$，
∴函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积的最大值为$\frac{\frac{2}{3}+2}{2}×2+\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{17}{6}$．

点评 本题考查绝对值不等式，考查数形结合、分类讨论的数学思想，正确分类讨论是关键．