Question

已知函数，（ 为常数，为自然对数的底）．
（1）当时，求；
（2）若在时取得极小值，试确定的取值范围；
（3）在（2）的条件下，设由的极大值构成的函数为，将换元为，试判断曲线是否能与直线（为确定的常数）相切，并说明理由．

Answer 1

（1）；（2）的取值范围是；（3）曲线不能与直线相切，证明详见解析．

试题分析：（1）当时，根据函数的求导法则求出导函数，进而可求出；（2）先根据函数的求导法则求出导函数，进而分、、三种情况进行讨论，确定哪一种情况才符合在时取得极小值，进而可确定的取值范围；（3）根据（2）确定函数的极大值为，进而得出，该曲线能否与直线相切，就看方程有没有解，进而转化为求函数的最值问题，利用函数的导数与最值的关系进行求解判断即可．
试题解析：（1）当时，，
所以 
（2）因为
令，得或
当，即时，恒成立
此时在区间上单调递减，没有极小值；
当，即时， 若，则，若，则
所以是函数的极小值点
当，即时，若，则．若，则
此时是函数的极大值点
综上所述，使函数在时取得极小值的的取值范围是 
（3）由（2）知当，且时，
因此是的极大值点，极大值为
所以．
令 
则恒成立，即在区间上是增函数
所以当时，，即恒有 
又直线的斜率为
所以曲线不能与直线相切．