Question

19．已知△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，有b²+c²=a²+bc．
（1）求角A的大小；
（2）若等差数列{a_n}中，a₁=2cosA，a₅=9，设数列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n项和为S_n，求证：$\frac{1}{3}≤{S_n}＜\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）根据题意由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，可求得cosA的值，再利用A为△ABC中的角，即可求得A．
（2）利用等差数列的定义即可求出数列{a_n}的通项公式，利用裂项求出和，求出S_n，由n∈N₊和S_n单调性可求出S_n的取值范围．

解答 解：（1）∵b²+c²=a²+bc，
∴$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{1}{2}$，
又∵A∈（0，π），
∴$A=\frac{π}{3}$．
（2）由（1）知${a_1}=2cosA=2cos\frac{π}{3}=1$，
设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₅=a₁+（5-1）d=9，
∴d=2，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
∴$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{{（{2n-1}）（{2n+1}）}}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{{（{2n-1}）}}\frac{1}{{（{2n+1}）}}}）$，
∴${S_n}=\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）=\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{2n+1}}）＜\frac{1}{2}$．
显然$\frac{1}{2n+1}$为递减数列，
故$1-\frac{1}{2n+1}$为递增数列，
故${S_n}=\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{2n+1}}）$的最小值为${S_1}=\frac{1}{3}$，
故$\frac{1}{3}≤{S_n}＜\frac{1}{2}$．

点评 本题考查余弦定理和等差数列的通项公式和裂项求和，还考查了函数的单调性，裂项求和是最重要的数列求和方法这一．属于中档题．