Question

【题目】已知， .

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）若，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ） .

【解析】试题分析：

（Ⅰ）由函数的解析式可得 ，当时， ， 在上单调递增；当时，由导函数的符号可知在单调递减；在单调递增.

（Ⅱ）构造函数，问题转化为在上恒成立，求导有，注意到.分类讨论：当时，不满足题意. 当时， ， 在上单调递增；所以，满足题意.

则实数的取值范围是.

试题解析：

（Ⅰ） ，

当时， ， .∴在上单调递增；

当时，由，得.

当时， ；当时， .

所以在单调递减；在单调递增.

（Ⅱ）令，

问题转化为在上恒成立，

，注意到.

当时， ，

，

因为，所以， ，

所以存在，使，

当时， ， 递减，

所以，不满足题意.

当时， ，

当时， ， ，

所以， 在上单调递增；所以，满足题意.

综上所述： .