Question

如图，直线l₁:y=kx+1-k(k≠0，k≠)与l₂相交于点P.直线l₁与x轴交于点P₁,过点P₁作x轴的垂线交于直线l₂于点Q₁,过点Q₁作y轴的垂线交直线l₁于点P₂，过点P₂作x轴的垂线交直线l₂于点Q₂，…这样一直作下去，可得到一系列点P₁，Q₁，P₂，Q₂，…点P_n(n=1,2,…)的横坐标构成数列{x_n}.

 (Ⅰ)证明x_n+1-1=(x_n-1)，(n∈N^*);

（Ⅱ）求数列{x_n}的通项公式；

（Ⅲ）比较2|PP_n|²与4k²|PP₁|²+5的大小.

Answer 1

（Ⅱ）解法：由题设知x₁=1-,x₁-1=-≠0,又由（Ⅰ）知x_n+1-1=(x_n-1), 所以数列{x_n-1}是首项为x₁-1,公比为的等比数列.从而x_n-1=-×()^n-1,即x_n=1-2×()ⁿ,n∈N^*.

（Ⅲ）解法：由得点P的坐标为（1，1）.所以

2|PP_n|²=2(x_n-1)²+2(kx_n+1-k-1)²=8×()²ⁿ+2(2)^2n-2,4k²|PP₁|²＋5＝

4k²[(1--1)²(0-1)²]+5=4k²+9.

（i）当|k|＞，即k＜-或k＞时，4k² |PP₁|²+5＞1+9=10.D而此时0＜||＜1，所以2|PP_n|²＜8×1+2=10,故2|PP_n|²＜4k²|PP₁|²+5.

(ii)当0＜|k|＜，即k∈（-，0）∪（0，）时，4k²|PP¹|²+5＜1+9=10.而此时||＞1，所以2|PP_N|²＞8×1+2=10.故2|PP_n|²＞4k²|PP₁|²+5.