Question

已知直线y=x-4被抛物线y²=2mx（m≠0）截得的弦长为6

2

，求抛物线的标准方程．

Answer 1

分析：设直线与抛物线相交于点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），将直线方程与抛物线方程消去y得到关于x的一元二次方程，由韦达定理得到x₁+x₂=2（4+m），x₁x₂=16．根据两点的距离公式与直线的方程，将AB长表示成关于m的式子，结合题意建立关于m的等式，解之得到实数m的值，即可得到所求抛物线的标准方程．

解答：解：设直线y=x-4与抛物线y²=2mx交于点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由

y=x-4 y2=2mx

消去y，可得x²-2（4+m）x+16=0，
∴x₁+x₂=2（4+m），x₁x₂=16，
可得（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4（4+m）²-4×16=4m²+32m，
（y₁-y₂）²=[（x₁-4）-（x₂-4）]²=（x₁-x₂）²=4m²+32m，
因此，|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

2(4m2+32m)

=6

2

，
解之得m=1或-9，可得抛物线的标准方程是y²=2x或y²=-18x．

点评：本题给出抛物线被已知直线截得的弦长，求抛物线的标准方程．着重考查了两点间的距离公式、抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．