题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的长轴长为4，且点（1，
3
2
）在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求直线y=x-
1
2
被椭圆截得的弦长|AB|．
分析：（I）由题意得
2a=4
1
a2
+
3
4b2
=1
，解得a，b即可；
（II）联立
y=x-
1
2
x2
4
+y2=1
，得到根与系数的关系，再利用弦长公式即可得出．
解答：解：（I）由题意得
2a=4
1
a2
+
3
4b2
=1
，解得
a=2
b2=1
，∴椭圆的方程为
x2
4
+y2=1．
（II）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立
y=x-
1
2
x2
4
+y2=1
，化为5x2-4x-3=0．
∴x1+x2=
4
5
，x1x2=-
3
5
．
∴|AB|=
2[(x1+x2)2-4x1x2]
=
2[(
4
5
)2-4×(-
3
5
)]
=
2
38
5
．
点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为根与系数的关系及其弦长公式等基础知识与基本技能，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

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