Question

如图，P-ABCD是正四棱锥，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，其中AB=2，PA=

6

．
（1）求证PA⊥B₁D₁；
（2）求平面PAD与平面BDD₁B₁所成的锐二面角θ的正弦值大小；
（3）求B₁到平面PAD的距离．

Answer 1

分析：（1）以A₁B₁为x轴，A₁D₁为y轴，A₁A为z轴，建立空间直角坐标系，设E为BD的中点，由P-ABCD是正四棱锥，知PE⊥平面ABCD，由AB=2，PA=

6

，知

B1D1

=(-2，2，0)，

AP

=(1，1，2)，由此能证明PA⊥B₁D₁．
（2）设平面PAD的法向量

m

=(x，y，z)，由

AD

=(0，2，0)，

AP

=(1，1，2)，得

m

=(-2，0，1)．由平面BDD₁B₁的法向量

n

=(1，1，0)，能求出锐二面角θ的正弦值大小．
（3）由

B1A

=(-2，0，2)，知B₁到平面PAD的距离d=

| B1A • m |

| m |

，由此能求出结果．

解答：（1）证明以A₁B₁为x轴，A₁D₁为y轴，A₁A为z轴，建立空间直角坐标系，
设E为BD的中点，∵P-ABCD是正四棱锥，
∴PE⊥平面ABCD，
∵AB=2，PA=

6

，∴PE=2，
∴P（1，1，4），
∴

B1D1

=(-2，2，0)，

AP

=(1，1，2)，
∴

B1D1

•

AP

=0，故PA⊥B₁D₁．
（2）解：设平面PAD的法向量

m

=(x，y，z)，
∵

AD

=(0，2，0)，

AP

=(1，1，2)，
∴

2y=0 x+y+2z=0

，∴

m

=(-2，0，1)．
∵平面BDD₁B₁的法向量

n

=(1，1，0)，
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=-

10

5

，
∴sinθ=

1-(- 10 5 )2

=

15

5

．
（3）解：∵

B1A

=(-2，0，2)，
∴B₁到平面PAD的距离d=

| B1A • m |

| m |

=

6 5

5

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，求二面角的余弦值，求点到平面的距离，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的灵活运用．