题目内容

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(1)求证:平面PAC⊥平面PBD;
(2)求该四棱锥的体积.
分析:(1)证明AC⊥平面PBD,即可证明平面PAC⊥平面PBD;
(2)证明PO⊥平面ABCD,即可求该四棱锥的体积.
(2)证明PO⊥平面ABCD,即可求该四棱锥的体积.
解答:
(1)证明:设AC∩BD=O,连接PO…(1分),
因为P-ABCD是正四棱锥,所以AC⊥BD,PO⊥AC…(3分),
因为PO∩BD=O,所以AC⊥平面PBD…(5分),
因为AC?平面PAC,所以平面PAC⊥平面PBD…(7分)
(2)解:因为AB=2,所以AO=
…(8分),
所以PO=
=1…(9分),
因为P-ABCD是正四棱锥,所以PO⊥平面ABCD…(10分)
所以,该四棱锥的体积V=
Sh=
×AB2×PO=
…(13分)(每个等号1分).

因为P-ABCD是正四棱锥,所以AC⊥BD,PO⊥AC…(3分),
因为PO∩BD=O,所以AC⊥平面PBD…(5分),
因为AC?平面PAC,所以平面PAC⊥平面PBD…(7分)
(2)解:因为AB=2,所以AO=
2 |
所以PO=
PA2-AO2 |
因为P-ABCD是正四棱锥,所以PO⊥平面ABCD…(10分)
所以,该四棱锥的体积V=
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点评:本题考查线面垂直、面面垂直,考查四棱锥体积的计算,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

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