Question

如图，P-ABCD是正四棱锥，PA=

3

，AB=2．
（1）求证：平面PAC⊥平面PBD；
（2）求该四棱锥的体积．

Answer 1

分析：（1）证明AC⊥平面PBD，即可证明平面PAC⊥平面PBD；
（2）证明PO⊥平面ABCD，即可求该四棱锥的体积．

解答：（1）证明：设AC∩BD=O，连接PO…（1分），
因为P-ABCD是正四棱锥，所以AC⊥BD，PO⊥AC…（3分），
因为PO∩BD=O，所以AC⊥平面PBD…（5分），
因为AC?平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBD…（7分）
（2）解：因为AB=2，所以AO=

2

…（8分），
所以PO=

PA2-AO2

=1…（9分），
因为P-ABCD是正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD…（10分）
所以，该四棱锥的体积V=

1

3

Sh=

1

3

×AB2×PO=

4

3

…（13分）（每个等号1分）．

点评：本题考查线面垂直、面面垂直，考查四棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．