Question

如图，P-ABCD是正四棱锥，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，其中AB=2，PA=

6

．
（1）求证：PA⊥B₁D₁；
（2）求平面PAD与平面BDD₁B₁所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析：如图，以D₁为原点，D₁A₁所在直线为x轴，D₁C₁所在直线为y轴，D₁D所在直线为z轴建立空间直角坐标系，给出图中各点的坐标，
（1）先计算出

AP

，

D1B1

的坐标，验证其内积为0即可得出PA⊥B₁D₁；
（2）平面BDD₁B₁的法向量为

AC

=（-2，2，0）．故再求出平面PAD的法向量

n

，设所求锐二面角为θ，由公式cosθ=

|n• AC |

|n|•| AC |

解答：解：以D₁为原点，D₁A₁所在直线为x轴，D₁C₁所在直线为y轴，D₁D所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
则D₁（0，0，0），A₁（2，0，0），B₁（2，2，0），C₁（0，2，0），
D（0，0，2），A（2，0，2），B（2，2，2），C（0，2，2），
P（1，1，4）．
（1）证明：∵

AP

=（-1，1，2），

D1B1

=（2，2，0），
∴

AP

•

D1B1

=-2+2+0=0，
∴PA⊥B₁D₁．
（2）平面BDD₁B₁的法向量为

AC

=（-2，2，0）．

DA

=（2，0，0），

OP

=（1，1，2）．
设平面PAD的法向量为

n

=（x，y，z），则

n

⊥

DA

，

n

⊥

DP

．
∴

2x=0 x+y+2z=0

∴

x=0 y=-2z

．取

n

=（0，-2，1），
设所求锐二面角为θ，则
cosθ=

|n• AC |

|n|•| AC |

=

|0-4+0|

2 2 × 5

=

10

5

．

点评：本题考查用空间向量求直线与平面的夹角以及用空间向量证明面面垂直，正确解题的前提是理解向量内积与两直线位置的对应关系及两平面法向量的夹角的余弦的绝对值即两平面夹角的余弦值，了解知识之间的衔接点，是正确转化的关键．