题目内容

定义：在数列{an}中，若an2-an-12=p，（n≥2，n∈N*，p为常数），则称{an}为“等方差数列”．下列是对“等方差数列”的有关判断：
①若{an}是“等方差数列”，则数列是等差数列；
②{（-2）n}是“等方差数列”；
③若{an}是“等方差数列”，则数列{akn}（k∈N*，k为常数）也是“等方差数列”；
④若{an}既是“等方差数列”，又是等差数列，则该数列是常数数列．
其中正确的命题为    ．（写出所有正确命题的序号）
【答案】分析：①：可以举反例，如an=0可判定真假；②：对数列{（-2）n}直接根据定义进行判定即可；③：对数列{akn}可利用叠加法进行判定；④：设数列{an}首项a1，公差为d，然后根据等方差数列的定义建立关系式，看d是否为0，从而判定真假．
解答：解：①：可以举反例．如an=0时数列不存在，所以①错误
②：对数列{（-2）n}有an2-an-12=[（-2）n]2-[（-2）n-1]2=4n-4n-1不是常数，所以②错误
③：对数列{akn}有akn2-ak（n-1）2=（akn2-akn-12）+（akn-12-akn-22）+…+（akn-k+12-akn-k2）=kp，而k，p均为常数，所以数列{akn}也是“等方差数列”，所以③正确
④：设数列{an}首项a1，公差为d则有a2=a1+d，a3=a1+2d，所以有（a1+d）2-a12=p，且（a1+2d）2-（a1+d）2=p，所以得d2+2a1d=p，3d2+2a1d=p，上两式相减得d=0，所以此数列为常数数列，所以④正确．
故答案为：③④
点评：本题主要考查了数列的应用，解题的关键是对新定义的理解，同时考查了分析问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
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定义：在数列{an}中，an＞0且an≠1，若
a
an+1
n
为定值，则称数列{an}为“等幂数列”．已知数列{an}为“等幂数列”，且a1=2，a2=4，Sn为数列{an}的前n项和，则S2009=（　　）
A、6026B、6024
C、2D、4
定义：在数列{an}中，若满足
an+2
an+1
-
an+1
an
=d (n∈N*，d为常数）我们称{an}为“比等差数列”，已知在比等差数列{an}中，a1=a2=1，a3=2，则
a2009
a2006
的末位数字是（　　）
A、6B、4C、2D、8
定义：在数列{an}中，an＞0且an≠1，若anan+1为定值，则称数列{an}为“等幂数列”．已知数列{an}为“等幂数列”，且a1=2，a2=4，Sn为数列{an}的前n项和，则S2013等于（　　）
定义：在数列{an}中，an＞0，且an≠1，若anan+1为定值，则称数列{an}为“等幂数列”．已知数列{an}为“等幂数列”，且a1=2，a2=4，Sn为数列{an}的前n项和，则S2011等于（　　）
定义：在数列{an}中，若an2-an-12=p，（n≥2，n∈N*，p为常数），则称{an}为“等方差数列”．下列是对“等方差数列”的有关判断：
①若{an}是“等方差数列”，则数列{
1an
}是等差数列；
②{（-2）n}是“等方差数列”；
③若{an}是“等方差数列”，则数列{akn}（k∈N*，k为常数）也是“等方差数列”；
④若{an}既是“等方差数列”，又是等差数列，则该数列是常数数列．
其中正确的命题为
③④
③④
．（写出所有正确命题的序号）

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