定义:在数列{an}中.若an2-an-12=p.(n≥2.n∈N*.p为常数).则称{an}为“等方差数列．下列是对“等方差数列的有关判断:①若{an}是“等方差数列 .则数列{1an}是等差数列,②{(-2)n}是“等方差数列 ,③若{an}是“等方差数列 .则数列{akn}(k∈N*.k为常数)也是“等方差数列 ,④若{an}既是“等方差数列 .又是等差数列.则� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

定义：在数列{a_n}中，若a_n²-a_n-1²=p，（n≥2，n∈N^*，p为常数），则称{a_n}为“等方差数列”．下列是对“等方差数列”的有关判断：
①若{a_n}是“等方差数列”，则数列{

}是等差数列；
②{（-2）ⁿ}是“等方差数列”；
③若{a_n}是“等方差数列”，则数列{a_kn}（k∈N^*，k为常数）也是“等方差数列”；
④若{a_n}既是“等方差数列”，又是等差数列，则该数列是常数数列．
其中正确的命题为

③④

．（写出所有正确命题的序号）

分析：①：可以举反例，如a_n=0可判定真假；②：对数列{（-2）ⁿ}直接根据定义进行判定即可；③：对数列{a_kn}可利用叠加法进行判定；④：设数列{a_n}首项a₁，公差为d，然后根据等方差数列的定义建立关系式，看d是否为0，从而判定真假．

解答：解：①：可以举反例．如a_n=0时数列{

}不存在，所以①错误
②：对数列{（-2）ⁿ}有a_n²-a_n-1²=[（-2）ⁿ]²-[（-2）^n-1]²=4ⁿ-4^n-1不是常数，所以②错误
③：对数列{a_kn}有a_kn²-a_k（n-1）²=（a_kn²-a_kn-1²）+（a_kn-1²-a_kn-2²）+…+（a_kn-k+1²-a_kn-k²）=kp，而k，p均为常数，所以数列{a_kn}也是“等方差数列”，所以③正确
④：设数列{a_n}首项a₁，公差为d则有a₂=a₁+d，a₃=a₁+2d，所以有（a₁+d）²-a₁²=p，且（a₁+2d）²-（a₁+d）²=p，所以得d²+2a₁d=p，3d²+2a₁d=p，上两式相减得d=0，所以此数列为常数数列，所以④正确．
故答案为：③④

点评：本题主要考查了数列的应用，解题的关键是对新定义的理解，同时考查了分析问题的能力，属于中档题．