Question

2．已知函数$f（x）=x（{\frac{2}{{{2^x}-1}}+k}）$为偶函数．
（1）求k的值；
（2）若$g（x）=\frac{f（x）}{x}$，当x∈（0，1]时，求g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用偶函数的定义，建立方程，即可求k的值；
（2）确定$g（x）=\frac{f（x）}{x}$的解析式，即可求出当x∈（0，1]时，g（x）的值域．

解答 解：（1）因为$f（x）=x（{\frac{2}{{{2^x}-1}}+k}）$为偶函数，
所以$\frac{2}{{{2^x}-1}}+k=-（{\frac{2}{{{2^{-x}}-1}}+k}）$恒成立，解得k=1．
（2）$g（x）=\frac{2}{{{2^x}-1}}+1，x∈（{0，1}]⇒{2^x}∈（{1，2}]⇒{2^x}-1∈（{0，1}]$
所以$\frac{2}{{{2^x}-1}}+1∈[{3+∞}）$．

点评 本题考查合适的奇偶性，考查函数的值域，考查学生的计算能力，属于中档题．