Question

（本小题满分13分）已知椭圆的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于、两点，设点是线段上的一个动点，且，求的取值范围；

（3）设点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、、三点共线？若存在，求出定点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1），（2），（3）存在定点

【解析】

试题分析：首先根据条件求出椭圆的方程，第二步直线过右焦点可设出直线的方程，代入椭圆的方程，消去得出关于的一元二次方程，设而不求，利用根与系数关系写出，

，再利用点在直线上求出，最后利用向量的坐标运算，根据得：，得出等式，由于，可得，第三步假设在轴上存在定点，使得、、三点共线．依题意，写出直线的方程，与轴的交点可令，求出点的横坐标，又点在直线上， ∴ ，代入减元可得，所以过轴上一个定点.

试题解析：（1）设椭圆方程为，由题意，又 ，

∴，故椭圆方程为 .

由（1）得右焦点，则，设的方程为（）代入

得，，∴，

设则，， 且， ．

∴ ，，

由，得，

即:

，

∴ 当时，有成立．

在轴上存在定点，使得、、三点共线．依题意，直线的方程为，令，则 ，点在直线上， ∴ ，

∴

，∴ 在轴上存在定点，使得、、三点共线．

考点：1.设而不求思想；2.解析几何问题向量运算综合；3.存在性命题的解题方法；