Question

对于函数和，若存在常数，对于任意，不等式都成立，则称直线是函数的分界线. 已知函数为自然对数的底，为常数）.

(Ⅰ)讨论函数的单调性；(Ⅱ)设，试探究函数与函数是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在，试说明理由.

Answer 1

解：（1）， 当时，，即，

函数在区间上是增函数，在区间上是减函数；当时，，函数是区间上的增函数 当时，即，

函数在区间上是增函数，在区间上是减函数.

（2）若存在，则恒成立，令，则，所以，      因此：恒成立，即恒成立，由得到：，

现在只要判断是否恒成立，设，因为：，

当时，，，当时，，，所以，即恒成立，所以函数与函数存在“分界线”.