题目内容

若函数y=f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（3）=0，则
f(x)+f(-x)
2x
＜0的解集为
 
．
考点：奇偶性与单调性的综合
专题：函数的性质及应用
分析：根据题意和偶函数的性质画出符合条件的图象，利用函数的奇偶性将不等式进行化简，然后利用函数的单调性确定不等式的解集．
解答： 解：由题意画出符合条件的函数图象：
∵函数y=f（x）为偶函数，
∴
f(x)+f(-x)
2x
＜0转化为：
f(x)
x
＜0，
即xf（x）＜0，由图得，
当x＞0时，f（x）＜0，则x＞3；
当x＜0时，f（x）＞0，则-3＜x＜0；
综上得，
f(x)+f(-x)
2x
的解集是：（-3，0）∪（3，+∞），
故答案为：（-3，0）∪（3，+∞）．
点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，利用数形结合的思想是解决本题的关键．
练习册系列答案
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已知f(x)=x-e
x
a
(a＞0)．
（1）曲线y=f（x）在x=0处的切线恰与直线x-2y+1=0垂直，求a的值；
（2）若x∈[a，2a]求f（x）的最大值；
（3）若f（x1）=f（x2）=0（x1＜x2），求证：
x1
x2
＜
e
a
．
若曲线y=x4-x在点P处的切线平行于直线3x-y=0，则切线方程为
 
．
设函数f（x）=
x
1-
1-x
(x＜0)
ex+a(x≥0)
，要使f（x）在（-∞，+∞）内连续，则实数a=
 
．
在长为10cm的线段AB上任取一点C，以线段AC，CB为两条直角边作直角三角形，则该直角三角形面积大于8cm2的概率为
 
．
已知函数f（x）=xlnx+x2，且x0是函数f（x）的极值点．给出以下几个问题：
①0＜x0＜
1
e
；
②x0＞
1
e
；
③f（x0）+x0＜0；
④f（x0）+x0＞0
其中正确的命题是
 
．（填出所有正确命题的序号）
y=x2-2lnx的极小值为
 
．
已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象与x轴有三个不同交点（0，0），（x1，0），（x2，0），且f（x）在x=1，x=2时取得极值，则x1•x2的值为
 
．
若函数f（x）=
1
3
ax3+
1
2
ax2-a+1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是（　　）
A、
5
6
＜a＜1
B、a＜1或a＞
6
5
C、a＞-
5
6
或a＜-1
D、1＜a＜
6
5

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