Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d的图象与x轴有三个不同交点（0，0），（x₁，0），（x₂，0），且f（x）在x=1，x=2时取得极值，则x₁•x₂的值为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：先确定f（x）=ax³+bx²+cx=x（ax²+bx+c），由韦达定理x₁x₂=

c

a

，再求导数，由韦达定理得1×2=

c

3a

，即可得出结论．

解答： 解：∵f（0）=0，∴d=0，
∴f（x）=ax³+bx²+cx=x（ax²+bx+c），
又f（x₁）=f（x₂）=0，∴x₁，x₂是ax²+bx+c=0两根，且a≠0．
由韦达定理x₁x₂=

c

a

∵f′（x）=3ax²+2bx+c，f（x）在x=1，x=2时取得极值，
∴1×2=

c

3a

，
∴x₁x₂=

c

a

=6．
故答案为：6．

点评：本题考查利用导数研究函数的极值，考查韦达定理，比较基础．