Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且1+

tanA

tanB

=

2c

b

（1）求角A；
（2）若向量

m

=（0，-1），向量

n

=（cosB，2cos²

C

2

），试求|m+n|的最小值．

Answer 1

考点：平面向量的综合题

专题：平面向量及应用

分析：（1）由1+

tanA

tanB

=

2c

b

，得：tanB+tanA=2tanB•

c

b

，由正弦定理，得

c

b

=

sinC

sinB

，由此能求出A=60°．
（2）向量

m

=（0，-1），

n

=（cosB，2cos²

C

2

），|

m

+

n

|=|（cosB，2cos²

C

2

C

2

-1）|=

1 2 sin(2B+ π 6 )+1

，由此能求出|

m

+

n

|的最小值．

解答： 解：（1）由1+

tanA

tanB

=

2c

b

，
得：tanB+tanA=2tanB•

c

b

，
由正弦定理，得

c

b

=

sinC

sinB

，
∴tanB+tanA=2tanB•

sinC

sinB

=2×

sinC

cosB

，
即tanB+tanA=

2sinC

cosB

，
sinB•cosA+sinA•cosB=2sinC•cosA，
sin（A+B）=2sinC•cosA，
∵sinC=sin（A+B），∴sinC=2sinC•cosA，
由sinC不等于零，故得cosA=

1

2

，∴A=60°．
（2）向量

m

=（0，-1），

n

=（cosB，2cos²

C

2

），
|

m

+

n

|=|（cosB，2cos²

C

2

-1）|=|（cosB，cosC）|
=

cos2B+cos2C

=

cos2B+cos2(120°-B)

=

1 2 sin(2B+ π 6 )+1

，
因为A=60°，所以B∈（0°，120°），2B+60°∈（60°，270°），
所以|

m

+

n

|的最小值为：

2

2

．

点评：本题考查角的大小的求法，考查向量和的模的大小的求法，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用．