Question

19．已知A，B是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1和双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的公共顶点，其中a＞b＞0，P是双曲线上的动点，M是椭圆上的动点（P，M都异于A，B），且满足$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=λ（$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{MB}$）（λ∈R），设直线AP，BP，AM，BM的斜率分别为k₁，k₂，k₃，k₄，若k₁+k₂=$\sqrt{3}$，则k₃+k₄=-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 设出点P、M的坐标，代入双曲线和椭圆的方程，再利用已知满足$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=λ（$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{MB}$）（λ∈R），满足及其斜率的计算公式即可求出．

解答 解：设A（-a，0），B（a，0）．设P（x₁，y₁），M（x₂，y₂），
∵$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=λ（$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{MB}$）（λ∈，其中λ∈R，
∴（x₁+a，y₁）+（x₁-a，y₁）=λ[（x₂+a，y₂）+（x₂-a，y₂）]，化为x₁y₂=x₂y₁．
∵P、M都异于A、B，∴y₁≠0，y₂≠0．∴$\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}=\frac{{x}_{2}}{{y}_{2}}$．
由k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-a}+\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+a}=\frac{2{x}_{1}{y}_{1}}{{{x}_{1}}^{2}-{a}^{2}}=\sqrt{3}$，…①
∵$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{b}^{2}}=1$…②
由①②得$\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}$=$\frac{{x}_{2}}{{y}_{2}}$=$\frac{\sqrt{3}{a}^{2}}{2{b}^{2}}$
k₃+k₄=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-a}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+a}=\frac{2{x}_{2}{y}_{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{a}^{2}}$，又∵$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
∴k₃+k₄=-$\frac{2{b}^{2}}{{a}^{2}}×\frac{{x}_{2}}{{y}_{2}}$=-$\frac{2{b}^{2}}{{a}^{2}}×\frac{\sqrt{3}{a}^{2}}{2{b}^{2}}=-\sqrt{3}$．
故答案为：-$\sqrt{3}$

点评 熟练掌握点在曲线上的意义、双曲线和椭圆的方程、向量的运算性质、斜率的计算公式是解题的关键，同时本题需要较强的计算能力，属于难题．