Question

如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，和是两个边长为的正三角形，，为的中点，为的中点．

 (Ⅰ)求证：平面；

   (Ⅱ)求证：平面；

 (Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值．

 

Answer 1

（Ⅰ）证明：设为的中点，连接，则

∵，，，

∴四边形为正方形，

∵为的中点，

∴为的交点，

∵，

∴，                                  ………………………………2分

∵，

∴，，

在三角形中，，∴，……………………………4分

∵，∴平面；                ……………………………5分

(Ⅱ)方法1：连接，∵为的中点，为中点，

∴，

∵平面，平面，

∴平面.                                    ……………………………9分

方法2：由(Ⅰ)知平面，又，所以过分别做的平行线，以它们做轴，以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

由已知得：

，，

，，，

，

则，，，.

∴

∴

∵平面，平面，

∴平面；                                 …………………………………9分

(Ⅲ) 设平面的法向量为，直线与平面所成角，

则，即，

解得，令，则平面的一个法向量为，

又

则，

∴直线与平面所成角的正弦值为.  ………………………………………14分