Question

【题目】设函数．

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若函数有两个极值点，且，求证： ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）当时，函数在上单调递增；

当时，函数在区间单调递增; 在区间函数单调递减;

当时， 函数单调递减, 函数单调递增;

（Ⅱ）见解析.

【解析】试题分析：

试题分析：（Ⅰ）函数的定义域为，得到，令，则，分和分类讨论，即可求解函数的单调区间.

（Ⅱ）当函数有两个极值点时,得,令,利用和函数的最值，即可证明结论.

试题解析：

（Ⅰ）函数的定义域为，

令，则．

①当时， , ，从而，故函数在上单调递增；

②当时， , 的两个根为 ，

当时， ，此时，当函数单调递减;当函数单调递增．

当时， ,此时函数在区间单调递增;当函数单调递减．

综上: 当时，函数在上单调递增；当时，函数在区间单调递增; 在区间函数单调递减; 当时， 函数单调递减, 函数单调递增.

（Ⅱ）当函数有两个极值点时, ,,

且 即,

令

,令,函数单调递增;

令,函数单调递减;

,