Question

13．在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v（米/单位时间），每单位时间的用氧量为${（\frac{v}{10}）^3}+1$（升），在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9（升），返回水面的平均速度为$\frac{v}{2}$（米/单位时间），每单位时间用氧量为1.5（升），记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y（升）．
（1）求y关于v的函数关系式；
（2）若c≤v≤15（c＞0），求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少．

Answer 1

分析 （1）分别计算潜入水底用时、用氧量；水底作业时用氧量；返回水面用时、用氧量，即可得到总用氧量的函数；
（2）利用基本不等式可得$v=10\root{3}{2}$，时取等号，再结合c≤v≤15（c＞0），即可求得确定下潜速度v，使总的用氧量最少．

解答 解：（1）由题意，下潜用时$\frac{60}{v}$（单位时间），用氧量为$[{（\frac{v}{10}）^3}+1]×\frac{60}{v}=\frac{{3{v^2}}}{50}+\frac{60}{v}$（升），
水底作业时的用氧量为10×0.9=9（升），返回水面用时$\frac{60}{{\frac{v}{2}}}=\frac{120}{v}$（单位时间），用氧量为$\frac{120}{v}×1.5=\frac{180}{v}$（升），
∴总用氧量$y=\frac{{3{v^2}}}{50}+\frac{240}{v}+9$（v＞0）．
（2）$y'=\frac{6v}{50}-\frac{240}{v^2}=\frac{{3（{v^3}-2000）}}{{25{v^2}}}$，令y'=0得$v=10\root{3}{2}$，在$0＜v＜10\root{3}{2}$时，y'＜0，函数单调递减，在$v＞10\root{3}{2}$时，y'＞0，函数单调递增，
∴当$c＜10\root{3}{2}$时，函数在$（0，10\root{3}{2}）$上递减，在$（10\root{3}{2}，15）$上递增，
∴此时$v=10\root{3}{2}$时用氧量最少．当$c≥10\root{3}{2}$时，[c，15]上递增，此时v=c时，总用氧量最少．

点评 本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，考查导数知识，考查分类讨论的数学思想．