Question

【题目】已知抛物线C的焦点在y轴上，焦点到准线的距离为2，且对称轴为y轴.

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）当抛物线C的焦点为时，过F作直线交抛物线于，A、B两点，若直线OA，OB（O为坐标原点）分别交直线于M、N两点，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根据抛物线的定义即可求出抛物线方程；

（2）由题意可得抛物线C的方程为，设，，直线AB的方程为，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求得，联立方程求得点M、N的横坐标，则，利用换元法求最值即可得出答案．

解：（1）当焦点在y轴正半轴时，设抛物线C标准方程为，

则，所以抛物线C的方程为，

当焦点在y轴负半轴时，设抛物线C标准方程为，

则，所以抛物线C的方程为；

（2）依题意，抛物线C的方程为，设，，直线AB的方程为，

由消去y整理可得：，

∴，，∴，

由，解得点M的横坐标为，

同理可得点N的横坐标为，

∴，

令，，则，

当时，，

当时，，

此时即，则，

综上：的最小值．