Question

15．高二数学ICTS竞赛初赛考试后，某校对95分以上的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示．
（1）求这组数据的平均数M；
（2）从所有95分以上的考生成绩中，又放回的抽取4次，记这4次成绩位于（95，105]之间的个数为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）（分布列结果不用化简）

Answer 1

分析 （1）由频率分布直方图，能求出这组数据的平均数．
（2）X的可能取值为0，1，2，3，4，X～B（4，$\frac{1}{10}$），由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）由频率分布直方图，得这组数据的平均数：
M=100×0.1+110×0.25+120×0.45+130×0.15+140×0.05=118，…（4分）
（2）X的可能取值为0，1，2，3，4．…（5分）
某个考生成绩位于（95，105]的概率=0.01×10=$\frac{1}{10}$…（6分）
因此X～B（4，$\frac{1}{10}$），…（8分）
∴P（X=0）=${C}_{4}^{0}（\frac{9}{10}）^{4}$=$\frac{6561}{10000}$，
P（X=1）=${C}_{4}^{1}（\frac{1}{10}）（\frac{9}{10}）^{3}$=$\frac{2916}{10000}$，
P（X=2）=${C}_{4}^{2}（\frac{1}{10}）^{2}（\frac{9}{10}）^{2}$=$\frac{486}{10000}$，
P（X=3）=${C}_{4}^{3}（\frac{1}{10}）^{3}（\frac{9}{10}）$=$\frac{36}{10000}$，
P（X=4）=${C}_{4}^{4}（\frac{1}{10}）^{4}$=$\frac{1}{10000}$．
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{6561}{10000}$	$\frac{2916}{10000}$	$\frac{486}{10000}$	$\frac{36}{10000}$	$\frac{1}{10000}$

EX=4×$\frac{1}{10}$=$\frac{2}{5}$．…（12分）

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．