题目内容
5．给出下列命题：①函数f（x）=x3+ax2+ax-a既有极大值又有极小值，则a＜0或a＞3；
②若f（x）=（x2-8）ex，则f（x）的单调递减区间为（-4，2）；
③过点A（a，a）可作圆x2+y2-2ax+a2+2a-3=0的两条切线，则实数a的取值范围为a＜-3或a＞1；
④双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为e1，双曲线$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$=1的离心率为e2，则e1+e2的最小值为2$\sqrt{2}$．
其中为真命题的序号是①②④．
分析 ①根据函数极值和导数之间的关系进行判断．
②令f′（x）=（x+4）（x-2）ex＜0，解得即可得出f（x）的单调递减区间；
③根据点与圆的位置关系进行判断．
④由于e1+e2=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$+$\sqrt{1+\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}}$=$\frac{c}{a}+\frac{c}{b}$≥$\frac{2}{\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}}×c$即可判断出．
解答 解：①∵f（x）=x3+ax2+ax-a，∴f′（x）=3x2+2ax+a
若函数f（x）=x3+ax2+ax-a既有极大值又有极小值
∴△=（2a）2-4×3×a＞0，∴a＞3或a＜0，故①正确，
②若f（x）=（x2-8）ex，则f′（x）=（x2+2x-8）ex，由f′（x）＜0，
得x2+2x-8＜0．即-4＜x＜2，即f（x）的单调递减区间为（-4，2）；故②正确，
③过点A（a，a）可作圆x2+y2-2ax+a2+2a-3=0的两条切线，
则点A在圆的外部，圆的标准方程为（x-a）2+y2=3-2a，
可得圆心P坐标为（a，0），半径r=$\sqrt{3-2a}$，且3-2a＞0，即a＜$\frac{3}{2}$，
∵点A在圆外，是|AP|=$\sqrt{（a-a）^{2}+（a-0）^{2}}$＞r=$\sqrt{3-2a}$，
即有a2＞3-2a，整理得：a2+2a-3＞0，即（a+3）（a-1）＞0，
解得：a＜-3或a＞1，又a＜$\frac{3}{2}$，
可得a＜-3或1＜a＜$\frac{3}{2}$，故③错误；
④双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1的离心率为e1，双曲线$\frac{x^2}{b^2}-\frac{y^2}{a^2}$=1的离心率为e2，
则e1+e2=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$+$\sqrt{1+\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}}$=$\frac{c}{a}+\frac{c}{b}$≥$\frac{2}{\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}}×c$=2$\sqrt{2}$，当且仅当a=b时取等号．其最小值为2$\sqrt{2}$，正确．
故答案为：①②④．
点评 本题考查了命题的真假判断，涉及利用导数研究函数的单调性极值、圆锥曲线的标准方程及其性质，点与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，涉及的指数点交点，综合性较强．
高二数学ICTS竞赛初赛考试后，某校对95分以上的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示．| A． | 充要条件 | B． | 充分而不必要条件 | ||
| C． | 必要而不充分条件 | D． | 既不充分也不必要条件 |
| A． | -1 | B． | -2 | C． | -3 | D． | -4 |
| A． | 2 | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | 1 | D． | -1 |
| A． | $\frac{π}{12}$ | B． | $\frac{π}{6}$ | C． | $\frac{π}{4}$ | D． | $\frac{π}{3}$ |