Question

【题目】已知函数（其中），，已知和在处有相同的切线．

（1）求函数和的解析式；

（2）求函数在区间上的最大值和最小值；

（3）判断函数的零点个数，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大值，最小值为；（3）一个，理由见解析.

【解析】

（1）利用导数运算性质可得，根据和在处有相同的切线．可得及，联立解得．

（2）利用导数研究单调性后可得极值，再求出区间端点函数值即可得出所求的最值．

（3）利用导数研究函数的单调性极值，再结合零点存在定理可得出函数的零点个数．

（1）（其中），，

．

，．

和在处有相同的切线．

，解得．

，

（2），．

可得在上单调递减，在上单调递增．

时，函数取得极小值即最小值，．

又．

∴时，函数取得最大值，．

综上可得：函数在区间上的最大值和最小值分别为：．

（3）函数．

．

当时，，故在为增函数；

当时，，故在为减函数；

当时，，故在为增函数；

，，

而，

故在有且只有一个零点，在上无零点，

综上，有一个零点.