题目内容
如图，在Rt△ABC中，|| PA |
| BC |
| PA |
| 1 |
| 2 |
| PQ |
| PQ |
| BC |
| CP |
| BQ |
考点：平面向量数量积的运算
专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用
分析：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系．求出各顶点的坐标后，进而给出向量
，
的坐标，然后利用平面向量的数量值运算公式，构造一个关于cosθ的式子，然后根据cosθ的取值范围，分析出
•
的最大值．
| BP |
| CQ |
| BP |
| CQ |
解答：
解：以直角顶点A为坐标原点，
两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系．
设|AB|=c，|AC|=b，则A（0，0），B（c，0），C（0，b），
且|PQ|=2a，|BC|=a．
设点P的坐标为（x，y），则Q（-x，-y）．
∴
=（x-c，y），
=（-x，-y-b），
=（-c，b），
=（-2x，-2y）．
∴
•
=（x-c）•（-x）+y（-y-b）=-（x2+y2）+cx-by=-a2+cx-by．
∵cosθ=
=
．
∴cx-by=a2cosθ．
∴
•
=-a2+a2cosθ．
故当cosθ=1，即θ=0（
与
方向相同）时，
•
最大，其最大值为0．
解：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系．
设|AB|=c，|AC|=b，则A（0，0），B（c，0），C（0，b），
且|PQ|=2a，|BC|=a．
设点P的坐标为（x，y），则Q（-x，-y）．
∴
| BP |
| CQ |
| BC |
| PQ |
∴
| BP |
| CQ |
∵cosθ=
| ||||
|
|
| cx-by |
| a2 |
∴cx-by=a2cosθ．
∴
| BP |
| CQ |
故当cosθ=1，即θ=0（
| PQ |
| BC |
| BP |
| CQ |
点评：本题主要考查向量的数量积的坐标表示和性质等概念，平面向量的运算法则，考查运用向量及三角函数的值域的能力．
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| A、100 cm3 |
| B、108 cm3 |
| C、84 cm3 |
| D、92 cm3 |