Question

【题目】椭圆C的中心在原点，左焦点，长轴为.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过左焦点的直线交曲线C于A，B两点，过右焦点的直线交曲线C于C，D两点，凸四边形ABCD为菱形，求直线AB的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）由题意可得的值，计算出的值，可得椭圆C的标准方程；

（2）由题意与菱形性质可得，设，，则有，当直线轴时，易知不成立，所以直线AB的斜率存在.

设直线AB的斜率为k，则，代入，可得，的值，计算出的值，代入，可得k的值，可得答案.

解：（1）由题意可知，，从而可得，

所以椭圆的标准为.

（2）根据椭圆的对称中心为原点可知，菱形ABCD的中心必为原点O，从而必有，

设，，则有，

当直线轴时，易知不成立，所以直线AB的斜率存在.

设直线AB的斜率为k，则，代入，

整理得，

由韦达定理得，，

从而，

由得，解得.

直线AB的方程为或.