题目内容
【题目】如图，在长方体
中，
，
为
的中点，
为
的中点，
为线段
上一点，且满足
，
为
的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）求三棱锥
的体积；
（3）求直线
与直线
所成角的余弦值.
【答案】（1）见解析（2）
（3）
【解析】
（1）利用三角形的中位线和梯形的中位线的性质得到线线平行，利用面面平行的判定定理证得平面
平面
，利用面面平行的性质得到
平面
；
（2）将三棱锥的顶点和底面转换，之后利用椎体体积公式求得结果；
（3）利用异面直线所成角的定义，得到
（或其补角）是目标，之后应用余弦定理求得结果.
（1）作
的中点
，连接
，
.
又
为
的中点，
∴为
的中位线，
.
又
为
的中点，
∴为梯形
的中位线，∴
.
在平面中，
，
在平面中，
，
∴平面平面，
又
平面，∴平面.
（2）
.
故所求三棱锥
的体积为.
（3）连接
，
，因为在长方体
中，
，
且
，又点
在直线
上，
所以直线
与直线所成角即为与
所成的角，
即是（或其补角）.
在
中，
，
，
.
由余弦定理得
，
故所求直线与直线所成角的余弦值为.
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