Question

12．已知函数f（x）=ln（x+1）+ax²，其中a∈R
（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处的切线与直线x+y-1=0垂直，求a的值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；
（Ⅲ）若?x＞0，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）$f′（x）=\frac{1}{x+1}+2ax$，（x＞-1），切线的斜率k=$f′（1）=\frac{1}{2}+2a$=1，可得$a=\frac{1}{4}$；
（2）$f′（x）=\frac{1}{x+1}+2ax$=$\frac{2a{x}^{2}+2ax+1}{x+1}$，（x＞-1），令h（x）=2ax²+2ax+1，分①当△=（2a）²-4×2a×1=4a²-8a≤0，②当△=4a²-8a＞0讨论，
（3）?x＞0，f（x）≥0恒成立，即f（x）_min≥0，分0≤a≤2，②a＜0，③a＞2讨论即可．

解答 解：（1）$f′（x）=\frac{1}{x+1}+2ax$，（x＞-1），
 函数f（x）在x=1处的切线的斜率k=$f′（1）=\frac{1}{2}+2a$，
∵函数f（x）在x=1处的切线与直线x+y-1=0垂直，∴$\frac{1}{2}+2a=1，得a=\frac{1}{4}$，
∴$a=\frac{1}{4}$；
（2）∵$f′（x）=\frac{1}{x+1}+2ax$=$\frac{2a{x}^{2}+2ax+1}{x+1}$，（x＞-1），
h（x）=2ax²+2ax+1，
①当△=（2a）²-4×2a×1=4a²-8a≤0，函数f（x）单调，即当0≤a≤2时，函数f（x）无极值点；
②当△=4a²-8a＞0时，即a＜0或a＞2，
当a＜0时，方程2ax²+2ax+1=0，有一正一负两根x₁，x₂，x₁+x₂=-1，∴x₁＜-1，x₂＞0，故函数f（x）有一个极值点；
 当a＞2时，方程2ax²+2ax+1=0，有两个负根，∵x₁+x₂=-1，∴x₁＞-1，x₂＞-1，故函数f（x）有两个极值点；
（3）由（2）得：①当0≤a≤2时，函数f（x）单调递增，?x＞0，f（x）＞f（0）=0，符合题意；
②当a＜0时，故函数f（x）有一个极值点x₂＞0，x∈（0，x₂）函数f（x）递增，x∈（x，+∞）递减，?x＞0，f（x）≥0不恒成立，故不符合题意；
③当a＞2时，函数f（x）有两个极值点x₁，x₂，0＞x₁＞-1，0＞x₂＞-1，函数f（x）单调递增，?x＞0，f（x）＞f（0）=0，符合题意；
综上，a的取值范围为：[0，+∞）．

点评 本题考查了利用导数求函数切线斜率、函数单调性、极值点个数、属于中档题．