Question

2．如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是BD的中点，E是棱CC₁上任意一点．
（1）证明：BD⊥A₁E；
（2）如果AB=2，$CE=\sqrt{2}$，OE⊥A₁E，求AA₁的长．

Answer 1

分析 （1）连结AC，A₁C₁，证明BD⊥平面ACC₁A₁得出BD⊥A₁E；
（2）设AA₁=a，求出△A₁OE的边长，利用勾股定理列方程解出a．

解答 解：（1）证明：连结AC，A₁C₁，
∵AA₁⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴AA₁⊥BD，
∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
又AC∩AA₁=A，AC?平面ACC₁A₁，AA₁?平面ACC₁A₁，
∴BD⊥平面ACC₁A₁，又A₁E?平面ACC₁A₁，
∴BD⊥A₁E．
 （2）∵AB=2，∴AO=CO=$\sqrt{2}$，A₁C₁=2$\sqrt{2}$，
设AA₁=a，则C₁E=a-$\sqrt{2}$，
∴OE²=2+2=4，A₁O²=a²+2，A₁E²=（a-$\sqrt{2}$）²+8=a²-2$\sqrt{2}$a+10，
∵OE⊥A₁E，
∴A₁O²=OE²+A₁E²，即a²+2=4+a²-2$\sqrt{2}$a+10，
解得a=3$\sqrt{2}$．∴AA₁=3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，棱柱的结构特征，属于中档题．